Limites y Derivadas

Limites

EL límite de una función f(x) cuando x tiende a a (x → a) es la constante única L a la que se aproxima la función f(x) cuando x se acerca al valor a, ya sea por la izquierda o por la derecha. Simbólicamente lo expresamos como:


lim f(x) = L
x → a


Evaluación de limites

Para evaluar los límites de una función basta con sustituir en la función el valor hacia el cual tiende la variable.


Ejemplos:

lim (x2 + 3) = (2)2 + 3 = 7
x → 2



lim (v - 3) = 3 - 3 = 0
x → 3



Ejercicios

Evalué los límites de las siguientes funciones para los valores de la variable considerada:





Limites infinitos y limites en el infinito


Limite Infinito:

Es cuando x → a, f(x) → ∞, es decir:

lim f(x) = ∞

x → a

Limite en el infinito

Es cuando x → ∞ la función f(x) tiende a una constante L

lim f(x) = L
x → ∞


Forma de eliminar las indeterminaciones 


Cuando el limite es en el infinito

Ejemplo:


Para eliminar esta indeterminación procedemos a dividir numerador y denominador por la mayor potencia de la variable considerada, de este modo obtenemos una función equivalente que posee limite.


 Cuando el limite es infinito

Ejemplo:
Ejercicios


Calcule los siguientes límites:




Halle el límite de la siguiente sucesión (el límite de una sucesión infinita es el infinito):




Derivada


La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.


Fórmula para derivar:


Ejemplo:

Halle la derivada de y = 2x2 + 2



Ejercicios:

Utilizando la regla general halle la derivada de:
  1. y = 3x
  2. y = 4x2 + 2x - 3
  3. y = x2 + 1


Derivadas sucesivas


Por lo general, la derivada de una función f(x) es otra función. A esta función obtenida le podemos sacar derivada, la cual es una segunda derivada de f(x). Así sucesivamente podemos sacar tercera, cuarta, etc.

Ejemplo:

Halle la primera, segunda y tercera derivada de las siguientes funciones.

1.    Y = 2x2 + 2
       Y’ = 4x
       Y’’ = 4
       Y’’’ = 0

2.    Y = 3x4 + x
       Y’ = 12x3 + 1
       Y’’ = 36x2
       Y’’’ = 72x


Ejercicios

Halle la primera, segunda y tercera derivada de:
  1. y = 4x2 + 2x - 3
  2. y = x2 + 1
  3. y = x6
  4. y = 3x4 – x2
  5. y = 2x3


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