Transformaciones Geometricas

Transformaciones geométricas

¿Qué son transformaciones geométricas?
Son operaciones geométricas que permiten crear nuevas figuras a partir de una previamente dada.

¿Cómo se clasifican?
  •  Simetría: Axial y Central

  • Traslación

  •  Rotación


¿Qué es una reflexión?
Es una transformación del plano, tal que los puntos transformados se colocan simétricamente con respecto a la posición original.


Simetría

Se dice que dos puntos son simétricos con respecto a otro punto si este punto biseca (dividir partes iguales) el segmento que une los dos puntos.

Existen dos tipos de simetría: simetría axial y central.

Ejemplos de simetría:
  
  

Simetría axial

Es aquella simetría en la que el elemento de reflexión es una línea recta de puntos fijos llamada eje de simetría. Esta transformación geométrica constituye la reflexión en sí, ya que los casos de rotación y traslación son reflexiones que deben cumplir otras condiciones.




Simetría central

Es la simetría respecto a un punto 0.



Traslación

Es cuando al trasladarse una figura de un lugar a otro queda como estaba originalmente.



Rotación o giro

Rotación significa girar alrededor de un centro.

K: es el centro de giro.
Amplitud de giro: es el ángulo de rotación.


Ejemplos:
Dadas las figuras geométricas obtener sus transformaciones dado el centro de giro y la amplitud del giro.
  •            Transportador hacia arriba para ángulo +
  •            Transportador hacia abajo para ángulo -
  •            Transportador hacia la derecha para ángulo +
  •            Transportador hacia la izquierda para ángulo –





Ejercicios:

Halle la figura resultante del giro.

1.  ab giro [K y (130 +)]


2. cd giro [A y (140 -)]


3. abcd [d y (90 +)]



Simetría, traslación y rotación con operaciones matemáticas


Simetría

Partiendo del sistema de ejes cartesianos, podemos determinar simetría de puntos, de rectas y figuras geométricas. Estas simetrías pueden ser:


·         Simetría con relación al eje x-x’ (simetría axial).

Sx P → P’
Sx P (x, y) → P’ (x’, y’)

Dónde:                x’ = x,                   y’ = -y


·         Simetría con relación al eje y-y’ (simetría axial).

Sy P → P’
Sy P (x, y) → P’ (x’, y’)

Dónde:                x’ = -x,                 y’ = y


·         Simetría con relación al origen 0 (simetría central).

S0 P → P’
S0 P (x, y) → P’ (x’, y’)

Dónde:                x’ = -x,                 y’ = -y


Ejemplo:

Hallar la simetría con relación a x-x’, y-y’ y con respecto al origen 0 del punto P (6,5).

Con relación al eje x-x’

Sx P (6, 5) → P’ (6, -5)


Con relación al eje y-y’

Sy P (6, 5) → P’ (-6, 5)


Con relación al origen 0

S0 P (6, 5) → P’ (-6, -5)


Ejercicios

Dados los siguientes puntos, determine la simetría axial y central pedida en cada caso:
  1. P1 (6, 7); Sx
  2. P2 (-3, 5); Sy
  3. P3 (0, 1); Sy
  4. P4 (-7, 8); S0
  5. P1 (-2, 2), P1 (-5, -6), P1 (3, -5); S0


Traslación


La traslación de un punto, recta o cualquier figura está dada por la expresión:

Tp (x, y) = P’ (x + h, y + k)

Tp (x, y) = P’ (x’, y’),

dónde: x’ = x + h;             y’ = y + k

Ejemplo 1

Trasladar el segmento de recta P1P2, P1 (2, 4), P2 (3, 1), para un h = 3 y k = 5.

P1’ = (2 + 3, 4 + 5) = (5, 9)
P2’ = (3 + 3, 1 + 5) = (6, 6)

Ejemplo 2

Trasladar el segmento de recta P1P2 P3, P1 (2, 4), P2 (-3, 1), P3 (6, 6), para un h = 4 y k = 4.

P1’ = (2 + 4, 4 + 4) = (6, 8)
P2’ = (-3 + 4, 1 + 4) = (7, 5)
P3’ = (6 + 4, 6 + 4) = (10, 10)

Ejercicios

Obtener la traslación de los siguientes puntos:
  1. T p1 (3, 4);           h = 0      k = 2
  2. T p1 (0, 0);           h = 2      k = 3
  3. T p1p2 p3 P1 (0, 0), P2 (4, 4), P3 (7, -3);                                   h = -10 k = -6
  4. T p1p2 p3 p4 P1 (2, 5), P2 (6, 5), P3 (2, 9), P4 (6, 9);                h = 6      k = 8

         
Rotación


La rotación de un punto P está dada por la expresión:

R0α (x, y) = P’ (x cos α – y sen α, x sen α + y cos α)

R0α (x, y) = P’ (x’, y’)

Donde:

X’ = x cos α – y sen α

Y’ = x sen α + y cos α

α = es el ángulo de rotación.

segmento OP = es la distancia del centro de rotación al punto P.

R0α = significa rotación o giro en 0 con un ángulo en grados.


Ejemplo:
Dado el punto P (4, 3) obtener la posición de dicho punto cuando 0P gira 900.
  • Usamos la tabla debajo del tema de ángulos cuadrantes para conocer los valores de las funciones.


X’ = x cos α – y sen α = 4 cos 90 – 3 sen 90 = (4)(0) – (3)(1) = -3

Y’ = x sen α + y cos α = 4 sen 90 + 3 cos 90 = (4)(1) – (3)(0) = 4


Ejercicios

Dados los siguientes puntos encuentre su imagen reflejada en un sistema de ejes cartesiano mediante rotación:
  1. P1 (5, 4)                α = 1800 (R0180)
  2. P2 (0, 2)                α = 900 (R090)
  3. P3 (0, -6)               α = 600 (R060)
  4. P4 (4, -2)               α = 300 (R030)
  5. P5 (-6, -6)              α = 600 (R060)








Comentarios

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