Transformaciones Geometricas
Transformaciones
geométricas
¿Qué son
transformaciones geométricas?
Son operaciones geométricas que permiten crear nuevas
figuras a partir de una previamente dada.
¿Cómo se clasifican?
- Simetría: Axial y Central
- Traslación
- Rotación
¿Qué es una reflexión?
Es una transformación del plano, tal que los puntos
transformados se colocan simétricamente con respecto a la posición original.
Simetría
Se dice que dos puntos son simétricos con respecto a otro
punto si este punto biseca (dividir partes iguales) el segmento que une los dos
puntos.
Existen dos tipos de simetría: simetría axial y central.
Ejemplos de simetría:
Simetría axial
Es aquella simetría en la que el elemento de reflexión es
una línea recta de puntos fijos llamada eje de simetría. Esta transformación
geométrica constituye la reflexión en sí, ya que los casos de rotación y
traslación son reflexiones que deben cumplir otras condiciones.
Simetría central
Es la simetría respecto a un punto 0.
Traslación
Es cuando al trasladarse una figura de un lugar a otro queda
como estaba originalmente.
Rotación o giro
Rotación significa girar alrededor de un centro.
K: es el centro
de giro.
Amplitud de giro:
es el ángulo de rotación.
Ejemplos:
Dadas las figuras geométricas obtener sus transformaciones
dado el centro de giro y la amplitud del giro.
- Transportador hacia arriba para ángulo +
- Transportador hacia abajo para ángulo -
- Transportador hacia la derecha para ángulo +
- Transportador hacia la izquierda para ángulo –
Ejercicios:
Halle la figura resultante del giro.
1. ab giro [K y (130 +)]
2. cd giro [A y (140 -)]
3. abcd [d y (90 +)]
Simetría, traslación y
rotación con operaciones matemáticas
Simetría
Partiendo del sistema de ejes cartesianos, podemos
determinar simetría de puntos, de rectas y figuras geométricas. Estas simetrías
pueden ser:
·
Simetría
con relación al eje x-x’ (simetría axial).
Sx P → P’
Sx P (x, y) → P’ (x’, y’)
Dónde: x’ = x, y’ = -y
·
Simetría
con relación al eje y-y’ (simetría axial).
Sy P → P’
Sy P (x, y) → P’ (x’, y’)
Dónde: x’ = -x, y’ = y
·
Simetría
con relación al origen 0 (simetría central).
S0 P → P’
S0 P (x, y) → P’ (x’, y’)
Dónde: x’ = -x, y’ = -y
Ejemplo:
Hallar la simetría con relación a x-x’, y-y’ y con
respecto al origen 0 del punto P (6,5).
Con relación al eje
x-x’
Sx P (6, 5) → P’ (6, -5)
Con relación al eje
y-y’
Sy P (6, 5) → P’ (-6, 5)
Con relación al origen
0
S0 P (6, 5) → P’ (-6, -5)
Ejercicios
Dados los siguientes puntos, determine la simetría axial y
central pedida en cada caso:
- P1 (6, 7); Sx
- P2 (-3, 5); Sy
- P3 (0, 1); Sy
- P4 (-7, 8); S0
- P1 (-2, 2), P1 (-5, -6), P1 (3, -5); S0
Traslación
La traslación de un punto, recta o cualquier figura está
dada por la expresión:
Tp (x, y) = P’ (x + h, y + k)
Tp (x, y) = P’ (x’, y’),
dónde: x’ = x +
h; y’ = y + k
Ejemplo 1
Trasladar el segmento de recta P1P2, P1 (2, 4), P2 (3, 1), para un h = 3 y k = 5.
P1’ = (2 + 3, 4 + 5) = (5, 9)
P2’ = (3 + 3, 1 + 5) = (6, 6)
Ejemplo 2
Trasladar el segmento de recta P1P2 P3, P1 (2, 4), P2
(-3, 1), P3 (6, 6), para un h
= 4 y k = 4.
P1’ = (2 + 4, 4 + 4) = (6, 8)
P2’ = (-3 + 4, 1 + 4) = (7, 5)
P3’ = (6 + 4, 6 + 4) = (10, 10)
Ejercicios
Obtener la traslación de los siguientes puntos:
- T p1 (3, 4); h = 0 k = 2
- T p1 (0, 0); h = 2 k = 3
- T p1p2 p3 P1 (0, 0), P2 (4, 4), P3 (7, -3); h = -10 k = -6
- T p1p2 p3 p4 P1 (2, 5), P2 (6, 5), P3 (2, 9), P4 (6, 9); h = 6 k = 8
Rotación
La rotación de un punto P está
dada por la expresión:
R0α
(x, y) = P’ (x cos α – y sen α, x sen
α + y cos α)
R0α
(x, y) = P’ (x’, y’)
Donde:
X’ = x cos α –
y sen α
Y’ = x sen α + y cos α
α
=
es el ángulo de rotación.
segmento OP = es la distancia del centro de rotación al punto P.
R0α = significa rotación o giro en 0 con un ángulo en grados.
Ejemplo:
Dado el punto P (4, 3) obtener la posición
de dicho punto cuando 0P gira 900.
- Usamos la tabla debajo del tema de ángulos cuadrantes para conocer los valores de las funciones.
X’ = x cos α – y sen α = 4
cos 90
– 3 sen 90
= (4)(0) – (3)(1) = -3
Y’ = x sen α + y cos α = 4 sen 90 + 3 cos 90
= (4)(1) – (3)(0) = 4
Ejercicios
Dados los siguientes puntos
encuentre su imagen reflejada en un sistema de ejes cartesiano mediante rotación:
- P1 (5, 4) α = 1800 (R0180)
- P2 (0, 2) α = 900 (R090)
- P3 (0, -6) α = 600 (R060)
- P4 (4, -2) α = 300 (R030)
- P5 (-6, -6) α = 600 (R060)
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