Numeros Complejos

Números complejos


 
Podemos esquematizar los conjuntos numéricos de la siguiente manera:


Recordar:
que cualquier número elevado al cuadrado o con potencia par siempre dará un numero positivo.
-22 = 4                   -82 = 64                 -24 = 16

Siendo la radicación la inversa de la potenciación es imposible obtener la raíz cuadrada de un numero negativo.

Aclarar que esto solo se cumple en radicales con índices pares, ya que cuando es impar es posible obtener un resultado.


 ¿Cómo surgen los números imaginarios?
Surgen con la necesidad de hacer verdaderas las siguientes igualdades: x2 + 1 = 0, x2 + 4 = 0


Por definición  es la unidad imaginaria, que se simboliza por i y cualquier numero imaginario es un múltiplo de i como:

Número Imaginario (bi)
Es un número real b acompañado de la unidad imaginaria i (bi).

Ejemplos


Numero complejo en forma binómica o aritmética
La expresión a + bi es un numero complejo, donde a y b son números reales e i la unidad imaginaria; a es la componente real y bi es la componente imaginaria.

Forma canónica o de par ordenado de un numero complejo
Cuando expresamos el numero complejo de forma (a, b) constituye la forma canónica o par ordenado.

Complejos iguales
Dos números complejos (a, b) y (c, d) son iguales si y solo si a = c y b = d.

Real puro
Es un numero complejo cuya componente imaginaria es cero: a + bi. También la expresamos (a, 0).

Ejemplos:
                               3 + 0i = 3              y             -2 + 0i = -2

Imaginario puro
Es un numero complejo cuya componente real es cero: 0 + bi. También se expresa (0, b).

Ejemplos:
                             

Representación gráfica de los números complejos
Los números complejos se representan en el plano guassiano.

Ejemplo:
Representar los siguientes números complejos: -4 – 3i y 4 + 2i


Complejos opuestos
Son aquellos que difieren en el signo sus primeras y segundas componentes respectivamente.

Ejemplo:
                               El complejo opuesto de      -3 + 4i           es           3 – 4i
Representar gráficamente los complejos opuestos anteriores.

Compuestos conjugados
Son aquellos que difieren únicamente en el signo de sus componentes imaginarias.

Ejemplo:
                               4 + 2i     su conjugado es              4 – 2i
Representar gráficamente los complejos conjugados anteriores.

Potencias de i
i0 = 1
i = , por definición.
i2 = -1
i3 = i2 x i = (-1) (i) = -i
i4 = i2 x i2 = (-1) (-1) = 1

Ejercicios

Halle las siguientes potencias de i:
i5 =
i6 =
i2 =
i0 =

Operaciones en los números complejos expresados en forma binómica


Adición de dos números complejos
Dados dos números complejos (a + bi) y (c + di) la suma es igual a (a + c) + (b + d)i

Ejemplo:
                  (4 – 2i) + (6 + 8i) = (4 + 6) + (-2 + 8)i = 10 + 6i

Sustracción
Para obtener este complejo procedemos a cambiar los signos al complejo sustraendo y sumarlo al complejo minuendo.

Ejemplo:
                   (6 + 3i) – (2 – i) = (6 – 2) + (3 + 1)i = 4 + 4i

Ejercicios:
  • Comprobar que la suma de dos complejos opuesto es cero:

(2 – 3i) + (-2 + 3i)

  • Comprobar que la suma de dos complejos conjugados es un real puro:

(4 – 2i) + (4 + 2i)

Resuelva:
  1. (3 + 2i) + (5 + 3i)
  2. (7 - 10i) – (9 + 4i)
  3. (4 + 7i) + (9 – 4i)
  4. (20 – 5i) – (14 + 13)

Multiplicación

Esta dada por: (a + bi) x (c + di) = ac + adi + bic +bidi = ac + adi + bci + bdi2 = ac + adi + bci + bd(-1) = ac + (ad + bc)i – bd = (ac – bd) + (ad + bc)i

Es similar al procedimiento que utilizamos para multiplicar dos binomios algebraicos.

Ejemplo:
                Multiplicar (3 – 2i) (5 + i) = 15 + 3i – 10i – 2i2 = 15 – 7i – 2(-1) = 15 – 7i + 2 = 17 – 7i

Ejercicios

Multiplique:
  1. (3 – 2i)(2 + i)
  2.  (8 – 5i)(4 – 3i)
  3.  (-6 + i)(4 - 6)
  4. (-10 + 5i)(1 – i) 

División de números complejos

Para dividir dos números complejos multiplicamos el dividendo y el divisor por el complejo conjugado del divisor de la expresión dada, y después proceder a efectuar las operaciones. El resultado final será un complejo en la forma binómica a + bi.

Ejemplo:


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