Análisis Combinatorio

Análisis Combinatorio

·         El análisis combinatorio estudia las características de las distintas formaciones que podemos hacer con un finito de m elementos dados.

Teorema fundamental del análisis combinatorio

Si un evento ocurre P maneras diferentes un segundo de T maneras diferentes y asi sucesivamente… Z eventos independientes entre si cada uno del otro, todos estos eventos en el mismo orden ocurrirán de P*T*…*Z maneras diferentes.

Ejemplo:

Para ir a Santo Domingo a Santiago hay 3 maneras: carro, avión y guagua. Para ir de Santiago a puerto plata hay 2 maneras: guagua y tren. ¿De cuantas maneras puede ir un ciudadano de Santo Domingo a Puerto Plata, pasando por Santiago?

Tenemos 3 maneras de S.D. a Stgo., que sería P maneras y 2 maneras de Stgo. a Puerto Plata, que sería T maneras.

P x T = 3 x 2 = 6 maneras.

Ejercicios

1. Con los dígitos del 1 al 9. ¿Cuántos números de tres cifras no necesariamente diferentes podemos formar de modo que sean mayores que 300?

7 x 9 x 9 = 567 números

2. Con los dígitos del 0 al 9. ¿Cuántos números mayores que 5,000 y menores de 7,000 pueden formarse?

2 x 10 x 10 x 10 = 2000 números 

Utilidades del análisis combinatorio en la vida diaria

•  La forma en que podríamos ordenar grupos de personas para una determinada actividad social a partir de un número de personas dadas.
•  Formas de combinar siembras de árboles de diferentes variedades en parcelas diferentes.
• Disfraces diferentes que puede hacer una diseñadora de modas con x colores dados.
• Cantidad de números de teléfonos para una comunidad, a partir de x cantidad de dígitos dados, etc.

Tipos de combinaciones

• Variaciones
• Permutaciones
• Combinaciones

Variaciones

Son las distintas agrupaciones de n elementos, que pueden formarse con un grupo de m elementos dados, de tal manera que las agrupaciones se diferencien en el orden y/o naturaleza de sus elementos.

Existen dos tipos de variaciones:

Variaciones sin repetición de elementos

Variaciones con repetición de elementos

Variaciones sin repetición de elementos

En este tipo de formación un elemento no aparece más de una vez en cada agrupación. Se simboliza por:

V_m,n

M = número de elementos

N = número de eventos

La fórmula es:

                             V _m,n = m(m - 1)(m - 1)… m - n + 1

Ejemplo:

Si tenemos un conjunto de 4 elementos (1, 2, 3, 4) y queremos determinar cuántas variaciones sin repetición de dos elementos podemos obtener (hacer números de dos dígitos).

V _{4, 2} = 4 x 3 = 12

Ejercicios

Resuelve los siguientes problemas

1. ¿Cuántos números de 5 cifras distintas se pueden formar con los dígitos del 3 al 8?
2. ¿De cuántas maneras diferentes podrán llegar a la meta 4 atletas si los participantes son: Juan, Pedro, Berta, Sofía, Jorge y Manuela?
3. ¿Cuántas banderas tricolores diferentes se pueden confeccionar con 10 colores?
4. ¿Cuántas elecciones distintas puede hacerse en un grupo de 25 personas si se va a elegir 15 de ellas?

Desarrolle

1. V _{4, 3}
2. 4V _{5, 3}
3. 3V _{4, 2}
4. V _{6, 4}
5. 2V _{4, 2} - 4V _{5, 3}

Variaciones con repetición de elementos

En este tipo de variación un elemento puede aparecer más de una vez en cada formación, es decir, repetir entre una formación y otra.

Se simboliza por:

V’_m,n

_Formula:

                      V’_m,n = mⁿ

Ejemplo:

Si tenemos un conjunto de 4 elementos (1, 2, 3, 4) y queremos determinar cuántos números de dos dígitos podemos obtener.

V’_{4, 2} = 4² = 16

Ejercicios

Resuelve los siguientes problemas

1. ¿Cuántos números de 8 cifras que empiecen por 6 se pueden formar?
2. ¿Cuántos números diferentes de 3 cifras podrían formarse con los dígitos 3 y 5?

Desarrolle

1. 4V‘_{6, 3}
2. 5V _{4, 2} - 2V’_{10, 8}
3. 4V’ _{6, 3}
4. 6V _{4, 2} / 2V’_{10, 8}
5. 7V’_{8, 7}

Permutaciones

Factorial de un numero entero y positivo M

Es por definición el producto indicado de todos los números enteros y positivos desde el numero m dado hasta la unidad (1).

Se simboliza por m!

Ejemplos:

• M! = m(m – 1) (m – 2) (m – 3)… (m – m + 1)
• 4! = 4x3x2x1 = 24
• 0! = 1, por definición.
• 6! = 6x5x4x3x2x1 = 720

Ejercicios:

1. 8!
2. 11!
3. (10-3)!
4. (4+6)!
5. 5!
6. (7+2)!

Permutaciones de m elementos

Son las diferentes agrupaciones que pueden formarse con los M elementos de A entrando todos a la vez, y una agrupación se distingue de la otra en el orden de sus elementos. Aquí la naturaleza no importa. Se simboliza por:

P_m

Existen permutaciones sin elementos repetidos y permutaciones con elementos repetidos.

Permutaciones sin elementos repetidos

Entre los m elementos dados no existe repetición de elementos.

Las permutaciones son casos especiales de variaciones, donde m = n

V_{m, m} = P_m = m(m – 1) (m – 2) (m – 3)… (m – m + 1) = m(m – 1) (m – 2) (m – 3)… x1

Fórmula:

P_m = m!

Ejemplo:

Si tenemos 5 estudiantes y queremos ponerlos todos a la vez en una fila. ¿De cuántas formas se pueden ordenar los niños en la fila?

Tenemos 5 eventos y 5 elementos. Es un caso de variación sin repetición:

V_5,5 = 5x4x3x2x1 = 120

P₅ = 5x4x3x2x1 = 120

Ejercicios:

Resuelva los siguientes problemas:

1. ¿De cuantas formas distintas pueden sentarse 5 personas en un banco todos a la vez?
2. ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5?
3. ¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta que la portería?

Desarrolle:

1. 4P₃ =
2. P₅ =
3. P₆ =
4. 2P₄ =
5. 6P₇ =

Permutaciones con elementos repetidos

Entre los m elementos dados algunos están repetidos.

Ejemplo:

Permutamos la palabra ORO

M = 3 elementos

P₃ = 3! = 3x2x1 = 6 formaciones

Haremos el diagrama de formaciones y comprobaremos que son menos formaciones que el caso anterior:

ORO               ROO               OOR

ORO               ROO               OOR

Formula:

P_m^{r1, r2, r3…} = m! / (r₁) (r₂) (r₃)… r_n

r₁ = a las veces que se repite un elemento.

r₂ = a las veces que se repite otro elemento.

Aplicando la fórmula al problema anterior tenemos:

P₃² = 3!/ 2! = 3x2x1/2x1 = 3

Ejemplo:

Si tenemos las letras aabcccd y queremos obtener el número de permutaciones. ¿Cuántas formaciones podemos hacer?

m = 7

r₁ = 2          P₇^{2, 3} = 7!/ (2!)(3!) = 7x6x5x4x3x2x1/(2x1)(3x2x1) = 420 permutaciones

r₁ = 3

Ejercicios:

Resuelve:

1. En una urna hay 9 bolas, 3 blancas, 2 rojas y 4 negras. ¿De cuantas formas distintas se pueden extraer las bolas de la urna?
2. ¿Cuántas palabras con o sin significado se pueden construir con las letras de la palabra ISOMORFISMO?
3. ¿Cuántas señales diferentes pueden formarse con 6 banderas colocadas en línea, si se tienen 2 rojas, 3 blancas y 1 azul?

Calcule las siguientes expresiones:

1. P₅²
2. P₄² + P₃
3. P₈^3,2 + P₂
4. P₇^3,3
5. P₈⁶ + P₇^3,3

Permutaciones circulares

Es una permutación donde no hay elementos repetidos y estos se encuentran en una posición circular, de modo que el primer elemento se situé al principio y al final.

Formula:

PC_m = (m-1)!

Ejemplo:

Calcular las permutaciones circulares de 7 elementos:

PC₇ = (7-1)! = 6! = 6x5x4x3x2x1 = 720

Ejercicios:

Resuelva los siguientes problemas:

1. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?
2. ¿De cuántos modos diferentes puede sentarse alrededor de una mesa circular una madre y sus 5 hijos?

Desarrolle las siguientes expresiones:

1. PC₅ =
2. PC₆ =
3. PC₉ =
4. PC₇ =

Combinaciones

Son las distintas formaciones con un conjunto con un conjunto de m elementos. Una formación se distingue de otra al menos en la existencia de un nuevo elemento. El tamaño de estas formaciones está dado por n. En este tipo de formaciones el orden no importa. Se simboliza por:

C _{m, n}

m = base de numero combinatorio

n = orden del numero combinatorio

Ejercicios

Resuelve los siguientes problemas:

1. ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?
2. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?
3. A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado? (Nota: los saludos se dan entre dos personas)

Halle el valor de las siguientes expresiones:

1. C_{8, 4} =
2. C_{3, 2} =
3. C_{9, 4} =
4. 7 C_{6, 3} =
5. C_{4, 3} =