Sucesiones

Sucesiones

Sucesión: Es un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro.

a1, a2, a3, …, an

3, 6, 9, …, 3n

Los números a1, a2, a3, … se llaman términos de la sucesión.
El subíndice indica el lugar que el término ocupa en una sucesión.

Términos enésimos o expresiones de sucesiones

Es una expresión mediante la cual podemos determinar cualquiera de los términos de la sucesión:

Un = 4n            Tn = 2n             Sn = (-1) n

Ejemplos:

Dado Sn = 2n + 1, calcule los 3 primeros términos.

n = 1                S1 = 2(1) + 1 = 3

n = 2                S2 = 2(2) + 1 = 5

n = 3                S3 = 2(3) + 1 = 7

Dado Tn = -2n + 3, halle el quinto término.

n = 5

T5 = -2(5) + 3 = -10 + 3 = -7


Ejercicios:

Encuentre los 4 primeros términos.



Determinación del termino enésimo de una sucesión


Ejemplo:

Tenemos la sucesión siguiente: 2, 4, 6, 8, …
Por simple inspección podemos determinar la formula o termino enésimo de esta sucesión la cual es 2n, el alumno puede comprobar esto.


Ejercicios

Halle por simple inspección el termino enésimo
  1. 3, 6, 9, 12, 15, …
  2. 1, 4, 9, 16, 25, …
  3. 4, 8, 12, 16, 20, …
  4. 5, 9, 13, 17, 21, …
  5. 2, 5, 10, 17, 26, …
  6. 5, 25, 125, 625, …



Clasificación de las sucesiones


Sucesión monótona

Es toda sucesión en la cual los términos permanecen iguales o van disminuyendo o van aumentando.

            Sucesión monótona creciente: es aquella sucesión en la cual cada termino es mayor que el anterior:            2, 4, 6, 8, …

            Sucesión monótona decreciente: es aquella sucesión en la cual cada termino es menor que el termino anterior:       8, 7, 6, 5, …

            Sucesión monótona constante: es aquella sucesión en la cual todos sus términos son iguales:              3, 3, 3, 3, …


Sucesión finita

Es la sucesión que tiene un último término:
8, 16, 24. Sucesión finita.

Sucesión infinita

Es la sucesión que tiene un número de términos ilimitados:
2, 4, 6, 8, … sucesión infinita.


Ejercicios

Clasifique las siguientes sucesiones en monótona creciente, decreciente o constante:
  1. 4, 5, 6, 7, …
  2. 1, 1/2, 1/3, 1/4, …
  3. 5, 5, 5, 5, …
  4. 1, -2, -4, -8, …
  5. -25, -20, -15, -10, …
  6. 2, 2/3, 1/3, 1/4, …


Progresiones

Una progresión es una sucesión de números entre los cuales hay una ley de formación constante. Se distinguen dos tipos: progresión aritmética y progresión geométrica.


Progresión aritmética

Es aquella sucesión donde los términos posteriores al primero se pueden obtener por medio de sumarle al termino anterior un número fijo al que llamamos razón o dependencia de la progresión.

a1, a1 + d, a1 + 2d, a1 + 3d …

El término general o enésimo an está dado por:
an = a1 + (n – 1) d

a1 = es el primer término.
d = es la diferencia de la progresión.


Expresión para la suma de los n primeros términos de la sucesión

La expresión para el cálculo de la suma de una cantidad de términos de la progresión es:

n = será igual al último término de la suma.

Ejemplo:

Calcule el término del lugar 10 de la progresión 4, 6, 8, 10, … también halle la suma de los 10 primeros números.



Ejercicios:

Halle an y Sn para las siguientes progresiones aritméticas:
  1. 20, 40, 60, … hasta el término 11
  2. 2, 4, 6, 8, … hasta el término 8
  3. 4, 8, 12, … hasta el término 10
  4. 3, 6, 9, …. Hasta el término 5
  5. 7, 10, 13, …. Hasta el término 10

Resuelve los siguientes problemas:
  1. Compré 50 libros. Por el primero pagué $8.00 pesos y por cada uno de los demás $3.00 pesos más que por el anterior.  ¿Cuál fue el importe total de la compra?
  2. Una nadadora entrenó todos los días durante tres semanas. El primer día nadó 15 minutos, y cada día nadaba 5 minutos más que el día anterior. ¿Cuánto tiempo nadó el último día? ¿Y a lo largo de las tres semanas?
  3. Una persona viaja 50 km el primer día y en cada día posterior 5 ½ menos de lo que recorrió el día anterior. ¿Cuánto habrá recorrido al cabo de 10 días?


Progresión geométrica

Es aquella sucesión donde los términos posteriores al primero se obtienen multiplicando el término anterior por un número fijo, el cual llamamos razón o diferencia de la progresión.

a1,          a1r,      a1 r2, …

El término enésimo está dado por:
an = a1rn-1


Expresión para la suma de los n primeros términos de la sucesión


Esta dada por la expresión:


Ejemplo:

Calcule el término del lugar 8 de la progresión 2, 6, 18, 54, … también halle la suma de los 8 primeros términos.


Ejercicios:

Halle el término del lugar 10 y la suma de esos 10 primeros términos.
  1. 3, 6, 12, 24, …
  2. 5, 25, 125, 625, …
  3. 1, 4, 16, 64, …
  4. 1, 3, 9, 27 …
  5. 5, 10, 20, 40, …


Resuelva los siguientes problemas:
  1. Mi prima Ángela ha vuelto encantada de sus vacaciones, y ha compartido con 10 amigos las fotos en una red social. Cada uno de ellos, a su vez, las ha compartido con otros 10, y así sucesivamente. ¿Cuántas personas pueden ver las fotos de las vacaciones de mi prima, si se han compartido hasta el 8º grado de amistad?
  2. Una persona ha ganado en cada año 1/3 de lo que gano el año anterior. Si el primer año ganó 24,300 pesos, ¿Cuánto ha ganado en 6 años?



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