Conjuntos Numéricos

Conjunto de los números naturales

El conjunto de los números naturales es el primer conjunto y surge de manera empírica para satisfacer la necesidad de cuantificar. Este conjunto permite contar y ordenar. Se representa con la letra N y se expresa así:

N = (1,2,3,4...) ó N = (1,2,3,4..., n + 1, n + 2,...)

Propiedades del conjunto de los números naturales:

1. El conjunto de los números naturales es ordenable. 
2. El conjunto de los números naturales tiene un primer elemento y no tiene un último elemento, es decir, es un conjunto infinito. 
3. Entre dos números naturales consecutivos no existe ningún otro número natural. 
4. Todo número natural n posee un número natural anterior,  menos el 1. Esto implica que el 1 es el primer número natural. 
5. A todo número natural sigue otro número natural.

Conjunto de los números enteros

Este conjunto surge de la necesidad de ampliar el conjunto de los números naturales. El hombre tiene la necesidad de expresar deudas, faltas, etc. Además de calcular restas, en las que el minuendo es menor o igual que el sustraendo.

Ejemplos:
                  15 - 20 = -5   y   2 - 13 = -11

El conjunto de los números enteros se designa con la letra Z y se expresa así:

Z = (...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...)

Podemos hacer las siguientes consideraciones: 

Z+ = enteros positivos, Z- = enteros negativos.

Propiedades del conjunto de los números enteros:

1. El conjunto de los números enteros es infinito. 
2. El conjunto de los números enteros es ordenable. 
3. A todo número entero le sigue y antecede otro número entero. 
4. Entre dos números enteros consecutivos no existe otro número entero. 
5. No existe un primer número entero.

Conjunto de los números racionales

Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente indicado de dos números enteros, donde el denominador es diferente de cero o aquellos que pueden ser expresados como decimales periódicos o exactos.

El conjunto de los números racionales está formado por números enteros y números fraccionarios.

La propiedad más importante que tienen los números racionales es la propiedad de densidad, que se expresa así: entre dos números racionales existen infinitos números racionales.

Clases de decimales

Decimales exactos: son aquellos en los que el proceso de dividir el numerador entre el denominador tiene como residuo cero. El denominador de la fracción común equivalente es un múltiplo de dos, de cinco o de ambos.

Decimales periódicos puros: son aquellos decimales en que se repite una cifra o un grupo de cifras después del punto decimal. La condición de periodicidad se simboliza por __ o 

Decimales periódicos mixtos: son aquellos cuyos periodos de repetición no comienzan con la cifra inmediatamente después del punto decimal, sino con la segunda tercera, etc.

Ejemplo:

                        0.4866666…

Ejercicios:

Clasifica los siguientes decimales en decimal exacto, periódico o periódico mixto:

• 0.4 _______________
• 0.666… ______________
• 0.333… ______________
• 0.66 _______________
• 0.2333… ______________
• 0.75 _______________

Reescribe los siguientes números decimales y escriba con arco el periodo en cada uno de ellos:

• 0.3838…
• 25.97373…
• 4.3434…
• 4.132132…

Operaciones con números fraccionarios

Propiedad cancelativa.

cancelamos las cantidades iguales que se encuentren arriba (numerador) con las de abajo (denominador).

Adición y sustracción con denominadores iguales.

Sumamos algebraicamente los numeradores y dividimos por el denominador común.

Adición y sustracción con denominadores diferentes.

Buscamos un denominador común multiplicando los denominadores. Luego multiplicamos en X y sumamos algebraicamente.

Multiplicación

Multiplicamos los numeradores y denominadores.

División

Multiplicamos en forma de X.

Conjunto de los números irracionales

Un numero irracional es aquel que no puede expresarse como el cociente de dos números enteros y que expresado en forma decimal no es periódico ni exacto.

Se simboliza por Q´

Suma y resta de números irracionales

Conjunto de los números reales

El conjunto de los números reales es la unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales.

Este conjunto se simboliza por: R

Relaciones entre los conjuntos numéricos

Podemos representar mediante diagrama de Venn-Euler los conjuntos numéricos que hemos tratado.

Operaciones internas en los conjuntos numéricos

Conjunto de los números naturales: La adición y Multiplicación.

Conjunto de los números enteros: La adición, sustracción y multiplicación.

Conjunto de los números racionales y de los reales: La adición, sustracción y la división sin el cero.

Ejercicios

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Conteste v ó f:

Propiedades en los conjuntos numéricos

Propiedad conmutativa

• Para la adición, se verifica que el orden de los sumandos no altera la suma.
• Para la multiplicación, se verifica que el orden de los factores no altera el producto.

Ejemplos:

                               2 + 3 = 3 + 2

                               6 x 4 = 4 x 6

La sustracción y la división no son conmutativas.

Propiedad asociativa

• Para la adición, se verifica que la forma en que se asocien los sumandos no altera la suma.
• Para la multiplicación, se verifica que la forma en que se asocien los factores no altera el producto.

Ejemplos:

                               (2 + 3) + 7 = 2 + (3 + 7)

                               5 x 2 x 7 = 5 x (2 x 7)

Propiedad distributiva

• De la multiplicación con relación a la adición y sustracción.

Ejemplos:

                               2(4 + 6) = (2)(4) + (2)(6)

                               2(4 - 6) = (2)(4) – (2)(6)

• De la potencia con relación a la multiplicación.

Ejemplo:

                               (3 b² c)³ = 3³ (b²)³ c³ = 27 b⁶ c³

• De la potencia con relación a la división.

Ejemplo:           

                  

• De la radicación con relación a la multiplicación.

Ejemplos:

                   

• De la radicación con relación a la división.

Ejemplo:

               

Propiedad de identidad

• Para la adición.

El elemento neutro para la suma es el 0.

Ejemplos:
                       a + 0 = a
                       25 + 0 = 25

• Para la multiplicación.

El elemento neutro para la multiplicación es el 1.

Ejemplos:
                       a x 1 = a
                       25 x 1 = 25

Propiedad de los inversos
Es cuando al efectuar una operación con dos números obtenemos como resultado el neutro de la operacion efectuada.

• Para la adición.

Ejemplos:

                     a + (-a) = 0

                     4 + (-4) = 0

• Para la multiplicación.

Ejemplos:

             

Propiedad absorbente

Para la multiplicación el elemento absorbente es el cero.

Ejemplo:

                           3 x 0 = 0

Ejercicios

Escriba la propiedad aplicada en las siguientes expresiones matemáticas:

Evaluación de los conocimientos

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